• Přeskočit navigační panel Rychlé odkazy
• Rychlé odkazy
   

  
  

  • Základní informace
  • Elektronická přihláška ke studiu
  • Dny otevřených dveří
  • Termíny přijímacích zkoušek do bakalářských a nenavazujících magisterských studijních programů - přijímací řízení 2013/2014
  • Studium pro zahraniční studenty

  • Informační zdroje
  • Diskusní fórum k přijímacímu řízení
  • Zpravodajský portál online.muni.cz
  • Vyhledavač bakalářských a nenavazujících magisterských oborů

  • Aktuálně
  • TSP on-line

   

Řešení - rychle

Věta daná je tvaru "Není pravda, že někteří nejsou A a nejsou B a zároveň nejsou C". Dle De Morganova zákona pro záměnu kvantifikátorů je "Není pravda, že někteří ..." ekvivalentní "Všichni nejsou ...". Musíme tedy negovat to "...", tj. "nejsou A a nejsou B a zároveň nejsou C". Dle De Morganova zákona z výrokové logiky a též s pomocí zákona dvojité negace tedy "není pravda, že nejsou A a nejsou B, nebo jsou C". To ještě upravíme uplatněním týchž zákonů na "jsou A či B nebo jsou C". Takže dohromady máme "Všichni jsou A či B nebo jsou C", tj. a).

Řešení - podrobně

Po přehlédnutí zadání úlohy dospějeme k závěru, že k řešení budeme muset uplatnit poznatky kodifikované ve výrokové i predikátové logice.

Nejprve musíme zjistit, jakou má formu věta daná. Ta zjevně začíná negací, jež neguje celý výrok za ní. To je výrok, který zhruba říká, že ti, co nejsou takoví a ani nejsou makoví, tak zároveň jsou onací. Novináře si označíme pomocí "N", politiky pomocí "P", vybrané pomocí "V". Věta daná má tedy tvar ¬( některé x je takové, že ( (x není N) ∧ (x není P) ) ∧ (x není P) )). (V symbolech predikátové logiky se (x je N), (x není N), apod., obvykle zapisuje jako N(x), ¬N(x).)

Abychom zjistili, která z nabízených možností je ekvivalentní, musíme provést úpravy, ekvivalentní transformace, formy věty dané. K tomu potřebujeme znát De Morganův zákon pro predikátovou logiku, zde v následující variantě. Nechť "A" je jakákoli formule obsahující x a tzv. existenční kvantifikátor "∃" zastupuje obraty jako "některé" (popř. "někteří"), "alespoň jeden" ("existuje alespoň jeden") a tzv. obecný kvantifikátor "∀" zastupuje obraty jako "všichni", "každý". Nuže: ¬(∃xA) ↔ (∀x ¬A), slovně třeba "není pravda, že existuje x takové, že A, je ekvivalentní s pro všechna x neplatí, že A". (Jindy potřebujeme jinou variantu De Morganova zákona, jmenovitě (∃x ¬A) ↔ ¬(∀xA); pochopitelně obě formule po stranách ↔ můžeme vzájemně prohodit - ekvivalence je totiž komutativní.)

První část věty dané tedy upravíme v souladu s De Morganovým zákonem, takže získáme "Všechna x jsou taková, že neplatí, že ...". Ta žel v nabídce možností není, větu proto musíme upravit ještě více. Tentokrát již na základě transformačních tautologií z výrokové logiky. Obrat "neplatí, že ..." neguje ( (x není N) ∧ (x není P) ) ∧ (x není V) ), což je tvarem konjunkce. Použijeme tedy De Morganův zákon pro výrokovou logiku, konkrétně ve variantě ¬(A∧B) ↔ (¬A∨¬B) ("negovaná konjunkce je disjunkce negací"). Naším A je ((x není N) ∧ (x není P)), naším B je (x není V). Protože tyto jsou negovány, musíme uskutečnit další ekvivalentní úpravy.

Začněme úpravou toho druhého, tj. ¬B, což je (po dosazení) ¬(x není V). Toto je však ekvivalentní (x je V) s to na základě zákona dvojí negace. Prvý člen disjunkce, A, je negován, jde totiž o ¬ ( (x není N) ∧ (x není P) ). Opět uplatníme De Morganův zákon pro výrokovou logiku a získáme tak ( ¬(x není N) ∨ ¬ (x není P) ). Oba členy této disjunkce upravíme podle zákona dvojí negace, dostaneme tak ( (x je N) ∨ (x je P) ). Celý náš výsledek je ∀x ( ((x je N) ∨ (x je P)) ∨ (x je V) ). Tuto formu má právě a pouze možnost a).